Korean Journal of Optics and Photonics. April 2019. 48-58
https://doi.org/10.3807/KJOP.2019.30.2.048


ABSTRACT


MAIN

  • I. 서 론

  • II. 이론적 전개

  • III. 시뮬레이션 조건 및 결과

  •   3.1. 시간 및 주파수 영역 광음향 측정 조건

  •   3.2. 광음향 신호 대 잡음비에 대한 시뮬레이션 결과

  • IV. 결 론

I. 서 론

근적외선 영역의 빛은 생체조직과 같은 광 확산 매체 내부에서 흡수, 산란을 필수적으로 수반하기 때문에 빛을 이용하여 생체조직 내부의 정보를 추출하는 데는 한계가 있다[1,2]. 광음향(photoacoustics) 효과는 광 흡수체가 빛을 흡수하게 되면 기계적인 열적 팽창에 의해 초음파가 발생하는 현상이다. 초음파는 생체조직 내부에서 산란 정도가 근적외선 광선보다 훨씬 낮기 때문에 이 광음향 효과를 이용하면 생체조직 내부의 광 흡수체에 대한 정보를 보다 효과적으로 추출할 수 있다. 생체 의료 광음향 측정은 세포 기관부터 생체조직까지 넓은 측정 범위와 해상도를 구현할 수 있을 뿐만 아니라 생체조직 내부의 광 흡수체에 대해 비교적 큰 대비도(contrast)로 신호를 측정할 수 있는 장점들로 인해 생체 의료 분야들의 다양한 목적에 따라 여러 형태로 연구되어 왔다[3,4]. 예를 들어, 높은 해상도로 광 흡수체를 분해하는 광음향 현미경(photoacoustic microscopy)은 생체 의료 적용 분야에 따라 초점 형태로 입사되는 빛에 의해 해상도가 결정되는 광-해상도 광음향 현미경과 초점 형태의 초점 초음파 측정기에 의해 해상도가 결정되는 초음파-해상도 광음향 현미경으로 구분된다[5]. 또한, 광음향 현미경의 적용이 어려운 생체조직 내부에 보다 깊게 위치한 혈관, 종양 등의 광 흡수체에 대한 탐지 및 진단 등을 수행하기 위해 광음향 거시경(photoacoustic macroscopy)이 연구되었다[5,6]. 광음향 거시경은 측정된 광음향 신호로부터 직접적으로 광 흡수체를 탐지하는 반면, 측정된 광음향 신호들에 적절한 알고리즘을 적용하여 간접적으로 광 흡수체의 분포를 복원하는 광음향 단층 촬영(photoacoustic tomography)에 대해서도 활발한 연구가 행해져 왔다[7].

생체조직 내부에 있는 광 흡수체로부터 광음향 파를 발생시키기 위해서는 조직 외부에서 입사하는 광원의 세기가 시간적으로 바뀌어야 한다. 이를 위해, 광원의 종류에 따라 펄스 레이저를 사용하는 시간 영역(time-domain) 광음향 측정과 레이저의 세기가 연속적이지만 시간적으로 변화를 주는 주파수 영역(frequency-domain) 광음향 측정 방법이 있다. 지금까지 연구되어온 대부분의 광음향 측정들에서는 시간 영역 광음향 방법이 고려되어 왔는데, 시간 영역 광음향 측정은 주파수 영역 광음향에 비해 측정된 광음향 신호로부터 직접적으로 광 흡수체의 깊이 정보를 예측할 수 있고 상대적으로 높은 신호 대 잡음비(signal-to-noise ratio, SNR) 값을 가지기 때문이다[8]. 그러나 시간 영역 광음향 방식에서는 입사하는 광원의 파장을 가변하여 광음향 신호를 측정하는 광음향 분광기(photoacoustic spectroscopy)를 구현할 때, 저비용 펄스 레이저들의 협소한 파장 대로 인한 제약이 있다[9,10]. 이에 반해 주파수 영역 광음향 측정은 넓은 파장 대에 분포한 기존의 다이오드 레이저들을 사용할 수 있기에 저비용, 초소형의 광음향 분광 측정 기기의 제작에 용이하다. 또한, 상용 다이오드 레이저를 통해 매우 높은 시간 당 데이터 측정 비율(수~수십 kHz)이 가능하기 때문에 생체 움직임 등의 무질서한 변화가 상시적으로 존재하는 임상 측정에서 광음향 효과를 적용하는데 보다 유리하다[9-11]. 십여 년 전부터 연구되어온 광음향 레이다(photoacoustic radar)는 광원을 처프(chirp) 신호와 같은 선형 및 비선형 주파수 변조 파형으로 입사시키는 주파수 영역 광음향 측정의 대표적인 방식이다[10-12]. 광음향 레이다는 시간 영역 광음향 측정과 마찬가지로 측정된 광음향 신호로부터 광 흡수체의 위치를 직접적으로 측정할 수 있다. 또한 기존의 초음파 레이다에서 축적된 주파수 변조 기술들을 광음향에 적용하고 개선할 수 있는 가능성으로 인해 신호 대 잡음비 값을 비롯한 측정 성능을 보다 더 향상시킬 수 있는 잠재력이 있다. 이 이외에도 기존의 초음파 의료 측정 장비에서의 초음파 신호 및 영상 처리 방법과 광음향 레이다에서 광음향 파의 신호 및 영상 처리 방법이 유사하기에 기존의 초음파 측정 방식에 광음향 측정 방식을 융합하는데도 상대적인 이점이 있다[13].

광 흡수체로부터 발생하는 광음향파의 세기는 주로 광 흡수체에 입사되는 빛의 세기와 광 흡수계수(즉, 광 흡수체에 흡수되는 빛의 에너지)에 비례한다. 생체조직으로 입사된 빛은 흡수, 산란에 의해 조직 표면으로부터 깊이 들어갈수록 지수함수적으로 그 세기가 감소하기 때문에 생체조직 내부에 있는 혈관, 종양 등에서 발생하는 광음향의 세기는 일반적으로 매우 미약하다. 그리고 광음향을 측정하는 초음파 측정기와 신호 증폭기에 필연적으로 발생하는 열 노이즈 때문에 거의 모든 생체 의료 광음향 측정에서는 매우 낮은 신호 대 잡음비의 특성을 보인다[12,13]. 광음향 거시경이나 광음향 단층 촬영 기법으로 생체조직 내의 종양을 탐지하고 진단하거나 광음향 분광 기법을 이용한 혈관 내 혈액의 산소포화도 측정에서도 측정 대상이 되는 광 흡수체가 생체조직 내부 깊은 곳에 위치해 있는 경우가 많기 때문에 이런 낮은 신호 대 잡음비는 정확한 생체 의료 정보의 추출을 어렵게 할뿐만 아니라 광음향의 실시간 임상 측정의 응용에도 걸림돌이 된다. 따라서 광음향 신호가 미약한 광음향 생체 의료 응용분야들의 전체적인 성능 향상을 위해서 광음향 신호 대 잡음비의 특성을 연구하고 향상시키는 것은 매우 중요하다고 할 수 있다. 심지어는 광음향 현미경과 같이 측정 대상 광 흡수체가 조직 표면으로부터 깊게 위치하지 않은 상황에서도 광 흡수체의 부피 당 분자 수에 따른 광음향 신호의 신호 대 잡음비 특성에 대한 연구가 꾸준히 진행되어 왔다[14].

광음향 잡음의 주 원인은 초음파 측정기의 수신부(receptor) 회로에서의 열적 들뜸에 의해 발생하는 초음파 열(ultrasound thermal) 잡음이라고 알려져 있다. 이 초음파 열 잡음을 가정하여 시간 및 주파수 영역 광음향 측정에서 신호 대 잡음비에 대한 많은 연구가 행해졌다. 일례로, 처프 신호가 아닌 연속적인 코사인 형태의 입사 광원에 의한 주파수 영역 광음향 신호가 펄스 형태 광원의 시간 영역 광음향 신호보다 약 ~40 dB 정도 낮다는 것이 이론적, 실험적으로 보고되었다[8]. 코사인 파형의 광원 대신 처프 광원을 고려하여 신호 대 잡음비를 향상시킨 광음향 레이다의 경우에도 시간 영역 광음향보다 적어도 20~40 dB 낮다는 이론적 결과가 있었다[12,15]. 그러나 실제 실험적으로 측정한 주파수 영역 광음향 신호의 신호 대 잡음비는 이론으로 예측한 값보다 높은 경우가 관찰되었는데[12], 최근에는 코사인 광원의 광음향 현미경에서 실험적으로 측정한 광음향 신호의 신호 대 잡음비가 기존의 이론적 예측보다 20배 이상 향상되었다는 보고가 있었다[16]. 비록 20배 이상으로 신호 대 잡음비를 향상시키는 실험적 요소에 대한 구체적인 이론적 설명은 없었으나 이 요소를 감안한 이론적 추론으로는 5 MHz 주파수의 코사인 광원의 경우 시간 영역 광음향 신호의 신호 대 잡음비와의 차이가 16.5 dB, 100 MHz의 경우에는 거의 비슷해진다고 주장하였다[16]. 또한, 광음향 레이다에서 비선형 처프 신호의 광원을 고려하거나[17] 정합 필터링(matched filtering)된 처프 신호의 선폭의 변화를 시도하여 신호 대 잡음비를 5~10 dB 정도 향상시킬 수 있는 가능성도 논의되었다[18].

그러나 앞서의 광음향 신호 대 잡음비에 대한 이론적 연구들에서는 광음향 측정에서 널리 사용되는 구면 초점 초음파 측정기 등의 광음향 측정 조건들이 보다 정확하게 고려되지 않았었다. 구면 초점 초음파 측정기 같은 초음파 측정기의 특정한 형태가 광음향 신호에 영향을 미치는 것은 당연하기 때문에 광음향 신호 대 잡음비 연구에서도 이런 조건들이 고려되어야만 한다. 더구나 시간 및 주파수 영역의 입사 광원들의 차이를 분석하여 두 측정 모드들 사이의 신호 대 잡음비의 차이에 대한 근본적인 이유를 분석하는 접근 방법도 없었다. 이런 요소들을 누락하였기 때문에 기존의 문헌에서 연구된 광음향 레이다에서 비선형 처프 신호나 정합 필터링된 처프 신호의 선폭에 따른 신호 대 잡음비의 특성과 변화의 이유를 제대로 설명하지 못하였었다[17,18]. 이 논문에서는 펄스형 레이저를 사용하는 시간 영역 광음향 측정과 처프 신호 형태의 레이저를 사용하는 광음향 레이다에 대해서 초음파 열 잡음을 고려하여 광음향 신호 대 잡음비에 대한 이론적 전개를 시도하였다. 이 전개 과정에서 구면 초점 초음파 측정기로 구형의 작은 광 흡수체로부터 광음향을 측정하는 상황을 가정하였는데 이는 광음향 거시경에서 생체조직 내에 위치한 종양 등의 광 흡수체를 탐색하는 상황과 유사하다. 두 측정 모드에서 생체조직으로 입사하는 펄스 및 처프 파형은 미국 국립 표준 협회(American National Standards Institute)에서 정한 최대허용노광량(maximum permissible exposure)에 따른 스펙트럼을 분석하여 신호 대 잡음비의 이론적 과정에 접목하였다. 또한, 모든 광음향 측정에서는 초음파 측정기로 측정된 신호에 대해 필터링(filtering) 과정을 필수적으로 거치는데 이 필터링은 광음향 신호뿐만 아니라 초음파 열 잡음에도 큰 영향을 미친다. 기존의 연구에서는 필터 함수의 변화에 따른 광음향 신호 대 잡음비를 광음향 레이다에서만 이론적으로 고려하였는데 우리는 이 접근 방법을 시간 영역 광음향 측정에도 적용하여 신호 대 잡음비의 변화를 분석하였다. 전개된 이론을 바탕으로 수행한 시뮬레이션을 통해 시간 및 주파수 영역 광음향 측정에서 신호 대 잡음비에 영향을 미치는 인자들을 분석하고 논의하였는데 주파수 대역 필터가 두 광음향 측정 모드 모두에서 신호 대 잡음비에 큰 영향을 미친다는 것을 관찰하였다.

II. 이론적 전개

생체 의료 광 확산 매체로 I(t)의 세기로 입사하는 빛에 의해 확산 매체 내부의 광 흡수체에 흡수되는 광 에너지의 공간적 분포가 H(ro)로 나타난다고 하자. 광음향 Helmholtz 방정식에 대한 그린(Green) 함수의 해[1]에 의해 이 H(ro)로부터 발생하는 광음향 파들이 광 확산 매체 외부의 초음파 측정기에 입사되어 나타나는 광음향 신호는

$$g(t)=\frac\Gamma{4\pi c_s^2}\int_{D({\mathbf r}_d)}\int_\infty d^3r_o\frac1{\left|{\overrightarrow r}_d-{\overrightarrow r}_o\right|}H({\overrightarrow r}_o)\frac\partial{\partial t}I\left(t-\frac{\left|{\overrightarrow r}_d-{\overrightarrow r}_o\right|}{c_s}\right)d^3r_d$$ (1)

로 나타낼 수 있다. 식 (1)에서 Γcs는 각각 그루네이젠(Gruneisen) 계수 및 초음파의 속도를 나타내고 D는 초음파 측정기의 물리적 표면 분포를 나타낸다. 식 (1)은 ro로 표시되는 광 흡수 에너지 분포의 3차원 적분과 rd로 표시되는 초음파 측정기 표면에 대한 3차원 적분으로 인해 6차원 적분 형태를 가진다. 초음파 측정기로부터 측정되는 최종 신호는 식 (1)의 광음향 신호를 초음파 측정기의 시간 영역에서의 반응 함수와의 합성곱(convolution) 연산을 통해 구해질 수 있다. 초음파 측정기의 반응 함수를 푸리어 변환하면 초음파 측정기의 주파수 당 반응 특성을 나타내는 전달 함수(transfer function)가 되고 이를 T~(ν)로 나타내자. 그러면, 식 (1)로부터 광음향 신호의 스펙트럼 G~(ν)=g(t)exp(-2πiνt)dt

$$\widetilde G(\nu)=\widetilde T(\nu)=\frac\Gamma{4\pi c_s^2}\left[\int_{D({\mathbf r}_d)}\int_\infty H({\overrightarrow r}_o)\frac{\exp\left(-ik\left|{\overrightarrow r}_d-{\overrightarrow r}_o\right|\right)}{\left|{\overrightarrow r}_d-{\overrightarrow r}_o\right|}d^3r_od^3r_d\right](2\pi i\nu)\widetilde I(\nu)$$ (2)

로 나타낼 수 있다. 식 (2)의 광음향 스펙트럼에 적용되는 주파수 필터 함수를 Q~(ν)이라 두면 식 (2)로부터 최종적으로 얻어지는 광음향 신호에 대한 스펙트럼은

$$\widetilde G(\nu)=\widetilde T(\nu)\widetilde I(\nu)\left[\int_\infty H({\overrightarrow r}_o)\mathrm K({\overrightarrow r}_o,\nu)d^3r_o\right]\widetilde Q(\nu)$$ (3)

이 된다. 식 (3)에서 K(ro,ν)

$$\mathrm K({\overrightarrow r}_o,\nu)\equiv\frac{i\nu\Gamma}{2c_s^2}\int_{D({\mathbf r}_d)}\frac{\exp\left(-ik\left|{\overrightarrow r}_d-{\overrightarrow r}_o\right|\right)}{\left|{\overrightarrow r}_d-{\overrightarrow r}_o\right|}d^3r_d$$ (4)

으로 정의하였다. 식 (4)의 K(ro,ν)는 초음파 측정기의 형태(평면, 구면 초점 등)에 따라 달라지는데, ro 지점에서 생성된 광음향 파와 초음파 측정기 각 점 rd 사이를 연결하는 주파수 영역의 함수이다. 그러므로 식 (3)의 대괄호 부분은 광 흡수체에 의한 광 흡수 에너지의 공간 분포 H(ro)와 초음파 측정기의 공간적 형태인 D로 결정되는 공간적 광음향 스펙트럼이라 일컬을 수 있다.

실제 광음향 측정에서는 초음파 열 잡음에 의해 식 (3)을 역 푸리어 변환하여 측정되는 광음향 신호가 시간에 따라 무질서하게 변동하게 된다. 초음파 열 잡음은 초음파 측정기 회로 단자들에서의 열적 들뜸이 원인이므로 이에 의한 광음향 잡음은 식 (3)의 광 흡수체로부터 측정된 광음향 신호와 통계적으로는 독립적이지만 필터 함수 Q~(ν)의 영향을 받는다. 따라서 초음파 열 잡음 스펙트럼을 N~(ν)이라 정의하면 초음파 열 잡음에 의한 광음향 잡음은

$${\widetilde G}_N(\nu)=\widetilde N(\nu)\widetilde Q(\nu)$$ (5)

로 나타낼 수 있다. 초음파 열 잡음은 평균이 0인 정상 과정(stationary process)으로 볼 수 있는데 식 (5)에 의해 초음파 열 잡음에 의한 광음향 잡음도 같은 성질을 가진다. 식 (3)과 (5)에 의해 광음향 신호의 신호 대 잡음비는

$$SNR=\frac{\left|\int_\infty\overrightarrow G(\nu)\exp(2\pi i\nu t)dv\right|_{t=t_M}^2}{\left\langle\left|\int_\infty{\overrightarrow G}_N(\nu)\exp(2\pi i\nu t)dv\right|_{t=t_M}^2\right\rangle}$$ (6)

으로 정의할 수 있다. 식 (6)의 t=tM은 잡음이 없는 이상적인 광음향 신호의 최대값이 나타나는 시간을 의미한다. 분모 항의 꺾쇠 모양의 괄호는 시간에 따라 변하는 광음향 신호의 확률 분포 평균(혹은 기대값)을 의미하므로 식 (6)의 분모 항은 광음향 잡음 신호의 분산(variance)이 된다. 광음향 잡음은 시간에 따라 변하기에 식 (6)의 확률 평균은 원칙적으로는 광음향 최대값의 시간에 따른 통계적 분포에 대한 평균이 되어야 한다. 그러나 광음향 최대값의 시간에 따른 통계적 분포는 특정 순간에 측정된 광음향 신호 전체에 나타난 잡음의 통계적 분포와 동일하다고 가정할 수 있다. 이 특성을 가지는 stochastic 무작위(random) 과정을 에르고딕성(ergodic) 정상 상태라 하는데[19] 이 에르고딕성 가정으로 인해 식 (6)의 분모는 특정 순간에서 공간적으로 분포된 광음향 잡음 값들의 확률 평균으로 대체하여 계산할 수 있다. 초음파 열 잡음은 비상관 백색 가우시안(uncorrelated white Gaussian) 잡음이기 때문에 식 (5)의 초음파 열 잡음의 스펙트럼 N(ν)의 주파수 당 에너지 밀도(power spectral density)는

$$\left\langle\overrightarrow N(\nu)\overrightarrow N(\nu')\right\rangle=\widetilde S\delta(\nu-\nu')$$ (7)

로 표현된다[20]. 식 (7)에서 δ(ν)는 Dirac 델타 함수이고 S~는 주파수 당 잡음 에너지의 크기를 나타내는 상수이다. 식 (5)를 식 (6)에 대입하고 식 (7)의 주파수 당 잡음 에너지를 고려하면 초음파 열 잡음에 의한 광음향 신호 대 잡음비는

$$SNR=\frac{\left|\int_\infty\widetilde G(\nu)\exp(2\pi i\nu t)d\nu\right|_{t=t_M}^2}{\widetilde S\int_\infty\left|\widetilde Q(\nu)\right|^2d\nu}$$ (8)

이 된다. 식 (6)의 분모 항은 식 (5)의 초음파 열 잡음으로부터 야기된 광음향 잡음의 스펙트럼 데이타로부터 직접 계산해야 하지만 식 (8)의 분모 항은 주파수 당 잡음 에너지와 필터 함수로부터 바로 계산할 수 있음을 주목하자.

III. 시뮬레이션 조건 및 결과

3.1. 시간 및 주파수 영역 광음향 측정 조건

시간 영역 광음향 측정에서 펄스형 입사빔은 다음과 같이 선폭이 τ인 가우시안 펄스로 근사할 수 있다[16].

$$I_{TD}(t)=\frac{F_{TD}}{\tau\sqrt\pi}\exp\left(-\frac{t^2}{\tau^2}\right).$$ (9)

식 (9)에서 FTD는 펄스형 입사빔에 의한 생체조직으로의 광 방사노광량(radiant exposure)이다. 이 광 방사노광량은 플루언스(fluence)라고도 부르는데 단위 면적 당 입사빔의 에너지를 나타낸다. 식 (9)를 푸리어 변환한 펄스형 입사빔의 스펙트럼은

$${\widetilde I}_{TD}(\nu)=F_{TD}\exp(-\pi^2\tau^2\nu^2)$$ (10)

이 된다. 광음향 레이다의 경우에 입사빔은 다음과 같은 선형 처프 신호 형태,

$$I_{FD}(t)=\frac{F_{FD}}T\left[1+\cos(2\pi\nu_ot+\pi bt^2)\right]\Pi\left(\frac tT\right)$$ (11)

로 나타낼 수 있다[15,17]. 식 (11)에서 FFD, νo, 그리고 b는 각각 입사빔의 방사노광량, 처프 파형의 중심 주파수, 그리고 선형 주파수 증가율을 나타내며 Π( t/T)는 지속 시간(duration)이 T인 구형 함수(rectangular function)를 나타낸다. 식 (11)의 선형 처프 신호는 주파수가 νo-bT/2에서 νo+bT/2까지 선형적으로 증가하기에 처프 신호의 주파수 대역폭은 bT가 된다. 식 (11)을 푸리어 변환하면 처프 신호의 스펙트럼에 대한 해석식을 얻을 수 있는데 다음과 같이 식 (11)의 구형 함수에 의한 싱크(sinc) 함수와 코사인 부분에 의한 주파수 부분 I~FDf(ν)의 합으로 표현된다.

$${\widetilde I}_{FD}(\nu)=F_{FD}\sin c(T\nu)+\frac{F_{FD}}{T\sqrt b}\widetilde I_{FD}^f(\nu)$$ (12)

식 (12)에서 I~FDf(ν)는 높은 주파수 영역 대에 주로 분포하는 함수인데 이에 대한 해석식은 이전 문헌에서 찾을 수 있다[15]. 일반적으로 시간 영역 광음향 측정에서 입사 펄스 파형의 선폭은 수~수십 나노 초(nanosecond), 광음향 레이다에서 처프 파형의 중심 주파수는 수 메가헤르츠(MHz)이고 지속 시간이 수 밀리 초(millisecond)이다. 시간 영역 및 광음향 레이다에서의 통상적인 선폭과 지속 시간에 따라 입사빔의 단위 면적 당 에너지는 미국 국립 표준 협회에서 정한 인체 피부에 대한 최대허용노광량(maximum permissible exposure)으로 제한된다. 400~1400 nm의 파장 영역대에서 최대허용노광량은 각각

$$\begin{array}{l}F_{TD}=2.0C_A\times10^{-2}\\F_{FD}=1.1C_AT^{0.25}\end{array}$$ (13)

으로 정해져 있다[21]. 식 (13)의 단위는 J/cm2이고 CA는 파장 가변 상수인데 광음향 측정에서 주로 고려되는 가시 광 영역에서는 대략 1로 근사할 수 있다.

식 (3)의 광음향 스펙트럼을 시뮬레이션하기 위해 먼저 초음파 측정기의 전달 함수 T~(ν)를 모델링하자. 초음파 측정기의 전달 함수 T~(ν)의 특성은, 초음파 측정기가 압전(piezoelectric) 물질로 초음파를 측정하는 타입인 경우, Krimholtz Leedom Matthaei (KLM) 모델로 잘 묘사된다고 알려져 있다[22]. 이 KLM 모델은 초음파 측정기의 초점 거리, 임피던스, Q-factor, 공명 주파수 등 여러 가지 변수들에 의해 영향을 받는데[18,22] 이 변수들을 모두 고려하여 T~(ν)를 시뮬레이션하는 것은 이 논문의 목적에 맞지 않고 논의 범위를 벗어난다. KLM 모델의 기본 개념은 초음파 측정기에 입사하는 초음파를 흡수한 압전 물질이 압전 물질의 공명 진동수를 중심으로 진동하고 이 에너지가 전기적 측정 신호로 변환되는 것이다. 이 개념은 빛을 유전체 물질로 입사했을 때, 유전체 내부의 원자들에 공명, 흡수되는 현상과 매우 비슷하다. 따라서 물리적으로 잘 알려진 빛이 유전체에 흡수되는 식[23]을 변환하여 초음파 측정기의 전달 함수 T~(ν)를 다음과 같이 간단하게 모델링할 수 있다.

$$\widetilde T(\nu)=\frac{i\nu+\gamma_1}{\nu_o^2-\nu^2+i\gamma_2\nu}$$ (14)

여기서 νo는 전달 함수의 크기가 최대가 되는 중심 주파수이고 γ2는 중심 주파수를 중심으로 한 전달 함수의 너비에 관계된 항이다. 일반적으로 전달 함수의 실수부가 최대가 되는 주파수 값은 νo와 일치하지 않는데[12,18]γ1은 이 차이에 관계된 항이다. 그림 1(a)에 νo = 3.5 MHz, γ1 = 0.1νo, 그리고 γ2 = 0.65νo를 대입한 전달 함수의 크기, 실수부, 및 허수부를 0~7 MHz 영역에서 나타내었는데 기존 문헌에서 보여준 전달 함수의 특성과 거의 일치하는 것을 알 수 있다[12,18].

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Fig. 1.

(a) Simulated ultrasound transducer’s transfer function from the simple modeling of Eq. (14). (b) Spectra of matched filtered chirp and Rect function filtering in frequency- and time-domain photoacoustic measurements, respectively.

식 (3)의 주파수 영역에서의 필터링 함수 tilde { Q} (nu)는 시간 영역 광음향 측정의 경우에는 고주파 잡음을 제거하기 위해 특정 주파수 구간의 대역 필터(bandpass filter)를 적용한다. 대역 필터의 주파수 범위는 초음파 측정기 전달 함수의 중심 주파수 νo를 중심으로 전달 함수의 크기가 최대값에서 ~6 dB 정도 감소하는 범위로 정하는 것이 일반적이다[12,24]. 광음향 레이다의 경우에는 입사 처프 신호 스펙트럼의 켤레 복소수에 해당하는 정합 필터(matched filter), 즉, Q~(ν)~I~FD*(ν)를 적용한다[10-12]. 기존의 레이다뿐만 아니라 많은 신호 처리 분야에서 사용되고 있는 정합 필터링 기법은 어떤 파형에 노이즈 신호가 섞였을 때, 이 파형과 정확히 매칭되는 파형으로 필터링하면 두 파형이 최대로 일치되는 시점에서 전체 파형이 압축된 피크 값이 나타난다는 개념이다[25]. 두 파형이 최대로 일치하는 시점은 광 흡수체로부터 발생한 광음향이 초음파 측정기까지 진행한 시점이므로 정합 필터링에 의한 피크 값을 통해 광 흡수체의 위치를 광음향 신호로부터 직접적으로 파악할 수 있다[10-12]. 특히 이 정합 필터링은 잡음이 비상관(uncorrelated) 가우시안 분포일 경우에 신호 대 잡음비를 최적화한다고 알려져 있다[20]. 식 (11)에서 bT2 값이 대략 30을 넘으면 식 (3)에 정합 필터를 적용한 결과인 I~FD(ν)2를 주파수 대역폭이 bT인 구형 함수로 근사할 수 있는데[15] 대부분의 광음향 레이다 측정 상황에서는 bT230이다. 그림 1(b)에 중심 주파수가 3.5 MHz, 대역폭 bT = 6 MHz (0.5~6.5 MHz), 그리고 지속 시간이 1 ms인(이 경우, bT2 = 6000) 처프 파형에 대한 I~FD(ν)Q~FD(ν)와 시간 영역 광음향 측정에서 선폭이 10 ns인 펄스형 입사빔에 대한 I~TD(ν)Q~TD(ν)를 나타내었다. 여기서 Q~FD=I~FD*/FFD로 하였고 Q~TD는 선폭이 bT = 6 MHz인 구형 함수로 하였는데 공정한 비교를 위해서 이 구형 함수의 크기는 Q~TD2=Q~FD2가 되도록 하였다. 그림 1(b)에서처럼 I~FDQ~FD의 DC 부분이 비 DC 부분보다 수만 배 크기 때문에 이를 나타내기 위해 그림 1(b)의 y축은 로그 함수 값으로 표시하였다. 그림 1(b)에서 볼 수 있듯이 DC 주변 부분을 제외하고는 주파수 레이다의 I~FDQ~FD는 대역폭이 bT = 6 MHz인 구형 함수와 매우 유사하다는 것을 알 수 있다.

식 (3)의 광음향 스펙트럼을 시뮬레이션하기 위한 마지막 항인 대괄호 부분의 공간적 광음향 스펙트럼은 광 흡수체의 모양, 광 흡수계수, 광 확산 매체로 입사되는 빛에 의한 매체 내부에서의 광 조도(irradiance) 분포, 그리고 초음파 측정기의 형태와 배치 등, 광음향 측정 상황에 따라 달라지는 함수이다. 이 논문에서는 일반적인 광음향 거시경 측정에서와 유사하게 구면 초점 초음파 측정기로 구형 광 흡수체로부터 발생하는 광음향을 측정하는 상황으로 단순화하였다. 식 (4)를 고려하면 식 (3)의 공간적 광음향 스펙트럼은 6차원 적분 형태인데 특별한 경우를 제외하고는 이에 대한 해석식이 도출되지 않는다[1]. 따라서 K-wave 시뮬레이션 툴[26,27]을 이용하여 공간적 광음향 스펙트럼을 직접적으로 계산하였다. 그림 2(a)에 K-wave로 구현한 초점 거리가 20 mm이고 개구수(numerical aperture)가 0.375인 구면 초점 초음파 측정기와 지름이 3 mm인 구형 모양의 광 흡수체로 구성된 광음향 측정 상황이 시뮬레이션되어 있다. 구형 광 흡수체의 광 흡수계수는 10 cm-1로 정하였고 그림 2(a)에 확대하여 나타낸 그림처럼 구형 광 흡수체 내부에서 입사빔의 광 흡수 에너지가 지수함수적으로 감소(최대값은 하얀색이고 검은색은 0)한다. 이는 통상적인 광음향 거시경 상황처럼 조직 외부에서 입사된 빛이 초음파 측정기와 광 흡수체 사이의 광 확산 조직에서 산란되어 구형의 광 흡수체에서 Beer’s 법칙처럼 흡수됨을 의미한다. 그림 2(b)는 구형 광 흡수체의 지름이 3 mm, 1.5 mm인 경우에 K-wave로부터 계산된 공간적 광음향 스펙트럼의 크기를 보여주고 있다. 이 시뮬레이션 결과를 위해 그림 2(a)처럼 초음파 측정기와 구형 광 흡수체가 있는 40 mm의 3차원 공간을 (512, 512, 512)로 격자화하였고 이 경우에 계산이 가능한 광음향 스펙트럼의 최대 주파수는 약 9.6 MHz이다. 구면 초점 초음파 측정기의 제한적인 공간적 형태가 광 흡수체로부터 발생하는 광음향 파들을 공간적으로 필터링하게 되고 이 효과에 의해서 측정된 광음향 스펙트럼에 피크 값(광음향 공명 스펙트럼)이 나타난다고 알려져 있는데[28], 그림 2(b)의 K-wave에 의한 시뮬레이션에서도 광음향 공명 스펙트럼 효과가 나타나는 것을 볼 수 있다.

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Fig. 2.

Photoacoustic measurement configuration for K-wave toolbox simulation. The inset: sectional image of the absorbing sphere. (b) Spatial photoacoustic spectra for 3 mm and 1.5 mm diameter absorbing spheres in (a) simulated by K-wave toolbox.

3.2. 광음향 신호 대 잡음비에 대한 시뮬레이션 결과

그림 1과 2의 광음향 측정 조건들에 대해 식 (8)의 분자 항에 식 (3)을 대입하고 식 (7)의 주파수 당 노이즈 에너지 S~를 임의로 설정하여 광음향 신호 대 잡음비를 계산하였다. 초음파 열 잡음에 의한 광음향 잡음에 대한 분산은 두 가지의 방법으로 계산할 수 있다. 첫 번째로는 주어진 S~에 따라 생성된 비상관 백색 가우시안 잡음을 식 (5)의 Q~(ν)를 통해 필터링하여 실제로 광음향 잡음 데이터를 구현하고 이로부터 식 (6)의 분모 항을 직접적으로 계산하는 무작위(brute-force) 계산 방법이다. 두 번째로는 주어진 S~ 값과 Q~(ν)로부터 이론적으로 도출된 식 (8)의 분모 항을 직접적으로 계산하는 방법이다. 이렇게 두 가지의 방법으로 계산된 시간 영역 광음향 및 광음향 레이다에 대한 신호 대 잡음비가 각각 그림 3(a)와 3(b)에 나와 있다. 그림 3(a)의 시간 영역 광음향의 경우에는 식 (9)의 펄스 파형의 선폭(τ)이 증가함에 따른, 그리고 그림 3(b)의 광음향 레이다에 대해서는 식 (11)의 처프 파형의 선폭(T)이 증가함에 따른 신호 대 잡음비의 변화를 시뮬레이션하였다. 그림 3의 범례에 표시된 SNR에서 위 첨자 t는 식 (9)로부터 이론적으로 계산한, b1은 218개의 잡음 값들로부터 무작위로 계산한, 그리고 b2는 b1의 무작위 방법을 50회 평균하여 계산한, 신호 대 잡음비 값이다. 시간 및 주파수 영역 광음향 측정 모두에서 무작위 방법으로 계산한 신호 대 잡음비 값들이 이론적으로 계산한 값에 근접하다는 것을 알 수 있고 특히 그림 3(a)의 경우는 50회 평균한 신호 대 잡음비가 이론 값과 거의 일치함을 알 수 있다. 그림 3(b)의 광음향 레이다의 경우에는 무작위 결과와 이론적 결과가 약간 차이가 나는 것을 볼 수 있는데 이 이유는 식 (12)의 처프 파형의 스펙트럼에 있는 두 개의 항들 사이의 혼선(crosstalk) 때문이다. 직접적으로 광음향 잡음 데이터를 생성하여 광음향 잡음의 분산을 계산하는 식 (6)의 경우와 S~ 값과 Q~(ν)로부터 이론적으로 계산하는 식 (8)의 경우에 이 혼선 항들에 의한 효과가 다르게 나타나기에 그림 3(b)의 차이가 발생하는 것이다. 두 측정 모드 모두에서 입사 광원의 선폭이 증가함에 따라 신호 대 잡음비의 값이 감소함을 알 수 있는데, 이 이유는 선폭이 증가하면서 식 (10)과 식 (12)에서 보듯이 입사 빔의 에너지가 DC (ν0)에 더욱 더 집중되기 때문이다. 그림 1(a)의 주파수 전달 함수와 그림 2(b)의 공간적 광음향 스펙트럼의 형태에서 유추할 수 있듯이 입사 광원의 스펙트럼에서 DC 근처에 분포한 에너지는 광음향 신호로 변환되지 않는다. 참고로, 그림 3의 결과를 위한 공간적 광음향 스펙트럼은 그림 2의 지름이 3 mm인 구형 광 흡수체의 경우만을 적용하였는데 지름이 1.5 mm로 더 작은 광 흡수체에 대해서는 두 측정 모드 모두에서 전체적으로 그림 3과 유사하면서 신호 대 잡음비 값이 낮아짐을 관찰할 수 있었다.

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Fig. 3.

(a) Time-domain and (b) frequency-domain photoacoustic SNRs calculated based on brute-force simulations and the theoretical equation, which are indicated as superscripts, b1, b2, and t in the legends.

이전 문헌들에서 보고된 것과 유사하게, 그림 3(a)와 3(b)를 비교해 보면 광음향 레이다의 신호 대 잡음비가 시간 영역 광음향의 경우보다 훨씬 낮다. 펄스 파형의 스펙트럼인 식 (10)에서 DC는 광 노광량 FTD이 되는데 이와 마찬가지로 식 (12)의 처프 파형의 스펙트럼에서도 DC 값은 광 노광량 FFDsinc(0)=FFD으로 동일하다(통상적인 광음향 레이다의 처프 신호에 대해서는 I~FDf(ν=0)0). 두 측정 모드의 입사 빔들의 광 노광량을 비교하기 위해 식 (13)에서 처프 신호의 선폭 T에 1 ms를 넣고 계산해보면 FFD = 0.1956으로 FTD = 0.02보다 약 10배 더 크다. 이와 같이 광음향 레이다에서 처프 형태의 입사 빔의 에너지가 훨씬 큰데 그림 3과 같이 신호 대 잡음비가 시간 영역 광음향의 경우보다 훨씬 낮은 이유는 처프 파형은 펄스 파형에 비해 입사 빔의 에너지가 DC 근처에 상대적으로 훨씬 많이 집중되기 때문이다. 이것은 광음향 레이다의 필터링 함수를 고려한 I~FDQ~FD의 DC 부분이 매우 크게 나타나는 그림 1(b)에서도 관찰할 수 있다. 이와 더불어, 처프 파형의 스펙트럼인 식 (12)를 보면, ν0-bT~ν0+bT 주파수 영역에 분포하는 두 번째 항 I~FDf(ν)의 크기가 FFD에 비례하긴 하지만 첫 번째 싱크 항과는 별도로 Tb에 반비례한다. 그림 3의 시뮬레이션 조건에서 T = 1 ms와 bT = 6 MHz를 고려하면 Tb는 약 78이 되는데 이 팩터만큼 I~FDf(ν)에 분포된 에너지가 더 감소한다. 결론적으로 처프 파형은 펄스 파형보다 구조적으로 DC에 훨씬 많은 에너지가 집중되는 파형이기에 DC를 제외한 영역에서 식 (3)의 I~(ν)Q~(ν)값이 훨씬 더 적어지게 되어 신호 대 잡음비 값이 낮아지게 되는 것이다. 광음향에서와 달리 일반적인 레이다에서는 처프 파형과 같은 연속적인 레이저 광원을 빈번하게 사용한다[25]. 왜냐하면 비록 DC 부분에 에너지가 훨씬 많이 집중되기는 하지만 전체적인 광 노광량이 펄스 형 레이저보다 훨씬 큰 연속적인 광원의 레이저를 사용할 수 있기 때문이다. 즉, 광음향 레이다의 낮은 신호 대 잡음비의 결과는 부분적으로는 생체조직에 대한 식 (13)의 최대허용노광량에 의한 제약 때문이라고도 볼 수 있다.

그림 1(b)에서 관찰하고 앞서 설명한대로 주파수 레이다의 경우에는 식 (3)의 I~FDQ~FD가 DC 근처에서 매우 큰 값을 보이는데, 식 (6)과 (8)을 시뮬레이션하여 분석한 바에 따르면 이 DC 주파수 근처의 값들 자체적으로 식 (8)의 신호 대 잡음비를 저하시키는 것으로 나타났다. 따라서 혼선 항들을 포함한 DC 부분을 제거하기 위해서 앞서 언급한 광음향 레이다의 주파수 필터 함수 Q~FD=I~FD*/FFD에 선폭이 bT인 구형 함수를 곱한 필터 함수를 적용하여 계산한 신호 대 잡음비가 그림 4(a)에 나와 있다. 그림 3(b)와는 다르게 무작위 방법으로 식 (6)으로 계산한 경우(위 첨자에 b1이라고 표시)와 식 (8)로부터 도출한 신호 대 잡음비(위 첨자에 t라고 표시)가 거의 일치함을 알 수 있다. 더구나 비 DC 부분보다 훨씬 큰 DC 부분을 제거하였음에도 광음향 레이다의 신호 대 잡음비 값이 그림 3(b)와 비교하여 4~5배 이상 증가한 것을 관찰할 수 있다. 그림 4(b)에 처프 파형의 선폭을 변화시키면서 펄스 파형의 선폭이 10 ns인 시간 영역 광음향과 광음향 레이다의 신호 대 잡음비를 비교하였다. 광음향 레이다에서 구형(Rect) 함수를 주파수 필터 함수에 포함하여 DC 주변부를 제거한 경우가 구형 함수를 포함하지 않은 경우보다 전체적으로 신호 대 잡음비가 약 5 dB 이상 상승했다는 것을 알 수 있다. 특히, 처프 파형의 선폭이 0.1 ms인 경우에는 시간 영역 광음향과 광음향 레이다의 신호 대 잡음비들의 차이가 18.8 dB까지 좁혀지게 됨을 관찰할 수 있다. 앞으로의 광음향 레이다에 대한 시뮬레이션 결과들은 정합 필터링된 처프 함수에 선폭이 bT인 구형 함수를 포함하고, 두 측정 모드 모두에서 식 (8)의 이론식에 의한 신호 대 잡음비만 논의하기로 하겠다.

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Fig. 4.

(a) Frequency-domain photoacoustic signal’s SNR improved by additionally filtering off the DC terms in the matched filtered chirp spectrum. (b) Comparison of SNRs between time- and frequency-domain photoacoustic measurements before and after additionally applying a rectangular (Rect) filter to matched filtered chirp.

시간 영역 광음향 측정에서 구형 필터 함수의 범위와 주파수 영역 광음향 측정에서 처프 파형과 필터 함수의 주파수 범위는 통상적으로 초음파 측정기의 중심 주파수를 기준으로 결정된다. 그렇기에 지금까지의 신호 대 잡음비에 대한 시뮬레이션에서 필터 함수의 주파수 범위는 그림 1(a)의 초음파 측정기의 전달 함수의 중심 주파수, 3.5 MHz를 기준으로 0.5~6.5 MHz로 설정하였다. 그러나 측정된 광음향 신호를 필터링하는 함수의 중심 주파수가 꼭 초음파 측정기의 중심 주파수와 일치할 필요는 없다. 그림 5(a)와 5(b)는 주파수 필터 함수의 주파수 상한 값(νend)에 따른 시간 및 주파수 영역 광음향 측정에서의 신호 대 잡음비의 변화를 보여 준다. 식 (14)의 초음파 측정기의 전달 함수에서 중심 주파수(νo)가 3 MHz, 3.5 MHz, 그리고 4 MHz인 경우에 대해서 조사하였고 그림 2의 지름이 3 mm인 구형 광 흡수체에 대한 공간적 광음향 스펙트럼을 적용하였다. 주파수 필터 함수의 하한 값은 0.5 MHz로 고정하고 주파수 필터 함수의 상한 값은 2 MHz에서 7 MH까지 고려하였는데 이는 구형(Rect) 주파수 필터 함수의 중심 주파수가 1.25 MHz에서 3.75 MHz로 변하는 것과 동일하다. 그림 5(a)에서 관찰할 수 있듯이 시간 영역 광음향 측정에서는 신호 대 잡음비가 최대가 되는 νend 값이 초음파 측정기의 전달 함수의 중심 주파수보다 약간 큰 영역에 위치한다. 반면에 그림 5(b)의 주파수 레이다의 경우에는 신호 대 잡음비를 최적화하는 νend 값이 전달 함수의 중심 주파수보다 약간 낮은 영역에 위치하고 있음을 알 수 있다. 시간 및 주파수 영역 광음향 측정에서 서로 상이한 이런 경향들은 그림 5에서 보여지듯이 초음파 측정기 전달 함수의 중심 주파수를 바꾸어도 일정하게 유지되는 것을 볼 수 있다. 같은 기준으로 지름이 1.5 mm인 구형 광 흡수체에 대한 공간적 광음향 스펙트럼만 바꾸어서 계산한 신호 대 잡음비의 결과가 그림 6에 나와 있다. 그림 5의 경우와 비교할 때 전체적으로 신호 대 잡음비의 값들이 하락했고 앞서 언급한 최적화 νend 값의 경향은 비슷하다. 다만 그림 2(b)에서 볼 수 있듯이 지름이 1.5 mm인 구형 광 흡수체에 의한 공간적 광음향 스펙트럼은 주파수의 변화에 따라 더 크게 진동하는 특성을 보이기 때문에 그림 6(b)의 신호 대 잡음비 값들도 진동하는 특성이 두드러지게 나타난다. 그림 5와 6의 결과를 통해 주목할 점은 νend 값을 조정함으로써 최적화된 신호 대 잡음비 값이 초음파 측정기의 중심 주파수를 기준으로 νend 값을 설정한 신호 대 잡음비의 크기보다 시간 영역 광음향 측정에서는 1.5배, 광음향 레이다에서는 3배 가량 높다는 것이다.

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Fig. 5.

Variation of SNRs for photoacoustic signals from a 3 mm absorbing sphere to the upper frequency values of (a) the rectangular filter in time-domain photoacoustic measurement and (b) the matched filtered chirp with a rectangular filter in frequency-domain photoacoustic measurement.

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Fig. 6.

Variation of SNRs for photoacoustic signals from a 1.5 mm absorbing sphere to the upper frequency values of (a) the rectangular filter in time-domain photoacoustic measurement and (b) the matched filtered chirp with a rectangular filter in frequency-domain photoacoustic measurement.

공간적 광음향 스펙트럼은 그림 2(b)와 같이 낮은 주파수 영역으로 치우친 광음향 공명 스펙트럼 피크 값을 가지기에 시간 영역 광음향 신호의 신호 대 잡음비에서는 그림 5(a)와 6(a)에서와 같이 초음파 전달 함수의 중심 주파수보다 약간 낮은 주파수 영역에 최적화 νend 값이 생성되는 것으로 이해할 수 있다. 즉, 그림 5(a)와 6(a)와 같은 최적화 광음향 신호 대 잡음비의 주 원인은 구면 초점 초음파 측정기에 의한 광음향 공명 스펙트럼 현상 때문이고 이는 이전의 문헌들에서는 발견하지 못했던 현상이다. 하지만 광음향 레이다의 경우에는, 비록 이 논문에서는 수식을 나타내지 않았지만, 시간 영역 광음향의 주파수 영역 필터 함수인 구형(Rect) 함수와는 다르게 필터링 함수 Q~FD(ν)가 복소수로 위상 변화를 포함하고 있다[15]. 식 (3)의 광음향 스펙트럼에서 공간적 광음향 스펙트럼과 초음파 측정기의 전달 함수도 복소수이기 때문에 서로의 실수부와 허수부 사이의 혼선(crosstalk) 효과에 의해 그림 5(b)나 6(b)와 같은 결과가 도출된다고 이해할 수 있다. 두 측정 모드 모두에서 최적화 νend 값보다 큰 영역에서 주파수 필터 함수의 상한 값을 증가시키면 광음향 신호 대 잡음비가 감소하는데, 그 이유는 그림 2처럼 공간적 광음향 스펙트럼의 크기가 광음향 공명 진동수를 기점으로 급격히 줄어들고 초음파 측정기의 전달 함수도 중심 주파수를 기점으로 감소하기에 필터 함수의 상한 값의 증가에 의해 얻어지는 광음향 신호의 증가보다 잡음의 증가량이 더 커지므로 광음향 신호 대 잡음비를 저하시키게 되는 것이다.

IV. 결 론

펄스 형태의 입사빔을 사용하는 시간 영역 광음향과 처프 형태의 입사빔을 사용하는 주파수 영역 광음향(즉, 광음향 레이다)에서 입사빔의 에너지와 스펙트럼의 차이를 분석하여 두 측정 모드의 광음향 신호 대 잡음비의 차이가 나는 근본적인 원인을 분석하고 이해하였다. 측정된 광음향 신호에 적용되는 주파수 필터 함수의 조정에 따른 신호 대 잡음비의 특성을 분석하였는데, 광음향 레이다에서 처프 신호의 강력한 DC 부분을 여분의 필터링을 통해 제거하여 ~5배 이상의 신호 대 잡음비가 향상될 가능성을 제시하였다. 무엇보다도 측정된 광음향 신호에 적용되는 필터 함수의 주파수 상한 값의 변화에 따라 신호 대 잡음비가 급격히 변하는 것을 관찰하였는데 최대 신호 대 잡음비를 나타내는 상한 주파수 값이 두 측정 모드에서 다르게 나타남을 보였다. 신호 대 잡음비를 최적화시키는 상한 주파수 값이 두 측정 모드에서 다르게 나타나는 이유를 구면 초점 초음파 측정기에 의한 광음향 공명 스펙트럼과 필터링된 입사 파형의 스펙트럼으로 이해할 수 있었다. 추후 시간 및 주파수 영역 광음향 신호 대 잡음비에 대한 실험을 통해 이 논문에서의 이론 및 시뮬레이션 결과와 상호 비교 및 분석하는 연구가 요구된다. 또한, 이 논문에서 광음향 신호의 필터링이 신호 대 잡음비에 큰 영향을 끼칠 가능성을 고찰하였기에 다양한 광음향 측정 상황들에 대해 광음향 신호 대 잡음비를 향상시키기 위한 최적의 필터링에 대한 이론적 및 실험적 연구도 흥미롭다고 할 수 있다.

감사의 글

이 논문은 정부(교육부) 산하 한국연구재단의 재원으로 이공학 개인기초연구지원 기본연구사업(2017R1D1A1B04035675)의 지원으로 수행되었습니다.

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